By Heinz Spindler

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Fur f 2 A(X) sei Xf = fx 2 X j f(x) 6= 0g die durch f de nierte ausgezeichnete o ene Menge. Dann gilt: Der kanonische Ringhomomorphismus A(X) ! O(Xf ); g + I(X) 7 ! gjXf induziert einen Ringisomorphismus A(X) f1 ] ! O(Xf ): Wir schreiben O(Xf ) = A(X) f1 ] = fgn j g 2 A(X); n 2 N : Insbesondere (wahle f 1) gilt O(X) = A(X): Weiter gilt: Fur jede ausgezeichnete o ene Menge U = Xf ist O(U) noetherscher Ring. Sind f1 ; : : :; fm 2 K z1 ; : : :; zn] Erzeuger des Ideals I(X) und ist fm+1 2 K z1 ; : : :; zn] Reprasentant von f 2 A(X), so ist O(Xf ) = K z1 ; : : :; zn+1] hf1 ; : : :; fm ; 1 zn+1 fm+1 i: Xf kann also als abgeschlossene Untervarietat von A n+1 aufgefa t werden!

Dim(X \ Y ) dimX +dimY n. h. 5 Zwei lineare Teilraume X und Y in Pn mit codim X + codimY n schneiden sich in allgemeiner Lage genau dann, wenn codim (X \ Y ) = codimX + codim Y gilt. Ist X durch die unabhangigen Gleichungen L1 ; : : :; Lq und Y durch die unabhangigen Gleichungen Lq+1 ; : : :; Lq+r gegeben, so sind L1 ; : : :; Lq+r ebenfalls linear unabhangig uber K (q + r = codimX + codim Y n): Ist codim X + r > n, so schneidet der "allgemeine\ rcodimensionale lineare Teilraum Y Pn den Raum X nicht (Begrundung als Ubung).

S mit (zi ) = xi fur i = 1; : : :; n surjektiv ist. 16 Jede endlich erzeugte Algebra uber einem noetherschen Ring ist noethersch. 17 Es sei K ein Korper. M K z1 ; : : :; zn]; X = V(M) A n (K) a ne Varietat. Dann ist I(X) := ff 2 K z1; : : :; zn ] j f jX = 0g ein Ideal in K z1 ; : : :; zn], denn 0 2 I(X); f; g 2 I(X) ) f g 2 I(X); f 2 I(X); g 2 K z1 ; : : :; zn] ) gf 2 I(X): Es gilt o ensichtlich M X = V(I(X)); I(X). h. p 2 V(M) = X: Ist nun I(X) = hf1 ; : : :; fm i, so ist V(I(X)) = V(f1; : : :; fm ); P denn ist p 2 V(f1; : : :; fm ) und f = mi=1 gifi ; so ist auch f(p) = Der Hilbertsche Basissatz impliziert also: Jede a ne Varietat X An P g (p)f (p) = 0.

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by David
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