By Patrice Tauvel

ISBN-10: 2100500740

ISBN-13: 9782100500741

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Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Théorème. Une fonction f définie sur un voisinage de 0 dans R est développable en série entière à l’origine si et seulement s’il existe r > 0 tel que : (i) f est indéfiniment dérivable sur ] − r, r[. (ii) Pour tout t ∈ ] − r, r[, la suite n 1 f (k) (0)tk n → ρn (t) = f (t) − k! k=0 admet 0 pour limite. Si ces conditions sont vérifiées, f coïncide avec la somme de sa série de Mac-Laurin sur ] − r, r[. Remarque. 5 sont vérifiées, il résulte de la formule de Taylor avec reste intégral que l’on a, pour |t| < r : t ρn (t) = 0 (t − u)n (n+1) f (u) du.

D’autre part, ε > 0 étant donné, il existe N ∈ N tel que ε (car x > ρ−1 ). On a donc : 1 ∞ an x n=0 xn e−xt g(t) dt − ε + e−xX |an | S (xX). n+1 n n=0 x N Pour X assez grand, le dernier terme de la ligne précédente est majoré par ε. On en déduit que l’intégrale proposée est convergente et que : ∞ 1 ∞ an 1 1 . 2. 1. Soit x ∈ C tel que |x| r < 1. Les séries |an |r n et |bn |r n sont convergentes. On a : ∞ ∞ |f (x)| = x an xn−1 |an |r n = A|x|. |x| n=1 n=1 Toujours pour |x| r , si s ∈ N, on a |x|s |x| r .

Si t ∈ [0, 1] et n 1, on pose fn (t) = nt(1 − t)n et gn (t) = nfn (t). 1. Etudier la convergence de la suite (f n )n . 2. Soit g = limn gn . Comparer 1 0 1 g(t) dt et lim n 0 gn (t) dt. 4. Soient I un intervalle de R et (f n )n une suite d’applications sur I , à valeurs réelles, et convergeant uniformément sur I . On pose g n = fn (1 + fn2 )−1 . Montrer que la suite (gn )n converge uniformément sur I . 5. Soit f : [0, 1] → R une application continue. Etablir : 1 f (t) dt = lim x→+∞ 0 1 ∞ (1)n−1 n!

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Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices corriges by Patrice Tauvel


by Charles
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