By Anton Deitmar (auth.)

ISBN-10: 3662533510

ISBN-13: 9783662533512

ISBN-10: 3662533529

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G) (Nullteilerfreiheit) Ist das Produkt ab zweier Elemente eines K¨orpers gleich Null, so muss mindestens eines der beiden Elemente Null sein. h) Fur ¨ alle a ∈ K gilt (−1)a = −a. i) Es gilt (−1)(−1) = 1. 32 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN Beweis. (a) Das Element x = b − a stellt sich als die gesuchte Losung heraus: ¨ a + (b − a) = a + (b + (−a)) = a + ((−a) + b) = (a + (−a)) + b =0+b =b (Schreibweise) (Kommutativit¨at) (Assoziativit¨at) (Inverses Element) (Neutrales Element). Nun zur Eindeutigkeit.

Sei A die Menge aller Teilmengen der Menge {1, 2, 3, . . , n}, welche genau k Elemente haben. Dann gilt |A| = nk , wobei |A| die Anzahl der Elemente der Menge A bezeichnet. Sei A1 die Menge aller Teilmengen, die das Element 1 enthalten und sei A2 die Menge aller Teilmengen, die die 1 nicht enthalten. Dann ist A die disjunkte Vereinigung von A1 und A2 und daher folgt |A| = |A1 | + |A2 |. Es ist nun |A1 | = Anzahl der k − 1-elementigen Teilmengen n−1 = . von 2, 3, . . , n k−1 Ebenso gilt |A2 | = Anzahl der k-elementigen Teilmengen n−1 = .

Es gilt nach der Dreiecksungleichung: 2 = |1 + 1| = |1 − (−1)| = |1 − a + a − (−1)| ≤ |1 − a| + |(−1) − a| < ε + ε = 2ε. Dies fuhrt zum Beispiel fur ¨ ¨ ε = 1 zum Widerspruch. • Die Folge nung n n+1 konvergiert gegen a = 1, dies wird klar mit der Rechn − (n + 1) −1 n −1= = . 5 (Eindeutigkeit des Limes). Die Folge (an ) sei konvergent gegen a ∈ R und gleichzeitig auch gegen b ∈ R. Dann folgt a = b. Beweis. Zu gegebenem ε > 0 existiert ein n ∈ N mit |an − a| < ε/2 und |an − b| < ε/2. Nach der Dreiecksungleichung folgt |a − b| = |a − an + an − b| ≤ |an − a| + |an − b| < 2ε + 2ε = ε.

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Analysis by Anton Deitmar (auth.)

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